Proporção direta/Grandezas diretamente proporcionais
Se A e B são duas grandezas tais que seus valores se relacionam (isto é, se o valor de B depende do valor de A) e se arazão A/B é constante, independentemente dos valores de A e de B, dizemos que A e B são grandezas diretamente proporcionais. Isto significa que um aumento no valor de A equivale a um aumento no valor de B na mesma proporção evice-versa (uma redução no valor de A equivale a uma redução no valor de B na mesma proporção).
Se A/B = C (sendo C = constante ), então A e B diretamente proporcionais
Proporção inversa/Grandezas diretamente proporcionais
Se A e B são duas grandezas tais que seus valores se relacionam (isto é, se o valor de B depende do valor de A) e se oproduto A . B é constante, independentemente dos valores de A e de B, dizemos que A e B são grandezas inversamente proporcionais. Isto significa que um aumento no valor de A equivale a uma diminuição no valor de B na mesma proporção evice-versa (uma redução no valor de A equivale a um aumento no valor de B na mesma proporção).
Se A . B = C (sendo C = constante ), então A e B inversamente proporcionais
Análise proporcional
parte 1 - "variações no tempo"
Seja um determinado sistema físico (um corpo em movimento, um gás em transformação, uma mola, uma partícula elétrica,uma onda...) ao qual podem ser associadas as grandezas físicas A, B e C e que se relacionam segundo a equação A = B . C. Consideremos um determinado intervalo de tempo durante o qual avaliaremos o comportamento dos valores das grandezasfísicas relacionadas A, B e C. A análise é feita da seguinte maneira:
I - Considerando que a grandeza A permaneça constante durante o tempo da análise, como variam as grandezas B e C? Descobre-se a resposta a essa pergunta a partir da fórmula dada, A = B . C e da ideia matemática de proporcionalidade.
Observe que se A = B . C e A é constante, então (o produto) B . C é constante também. Pelo que vimos, quando o produto de duas grandezas é constante estas duas grandezas são inversamente proporcionais, ou seja, quando uma aumenta a outra diminui na mesma proporção.
II - Reescrevendo a fórmula, isolando B no primeiro membro da equação, teremos B = A / C. A partir disso consideremos que é a grandeza B que permanece constante agora. Sendo assim, (a razão) A / C permanece constante também. Ora, quando arazão entre duas grandezas é constante estas duas grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, quando uma delas aumenta a outra também aumenta, na mesma proporção.
III - Finalmente, reescrevendo a fórmula, isolando agora a grandeza C no primeiro membro da equação, teremos C = A / B.Considerando que C permaneça constante durante o tempo, então (a razão) A / B também permanece constante durante este tempo. E razão constante é sinônimo de grandezas diretamente proporcionais. Logo, se A aumenta B aumenta na mesma proporção; se A diminui, B diminui na mesma proporção.
Conclusões: Se A for constante, então B e C são inversamente proporcionais; se B for constante, então A e C são diretamente proporcionais; se C for constante, A e B são diretamente proporcionais.
Observações: Para descobrir a relação de proporção entre B e C deve-se isolar A no primeiro membro da equação (fórmula); para descobrir a relação de proporção entre A e C, isola-se B no primeiro membro. E, finalmente, para descobrir a relação de proporção entre A e B, isola-se C.
Resumo:
parte 2 - "comparações entre dois sistemas"
Sejam dois sistemas físicos, 1 e 2, (dois corpos em movimento, dois gases em transformação, duas molas, duas partículas elétricas,duas ondas...) aos quais estão associadas, respectivamente, as grandezas físicas A1, B1 e C1 (sistema 1) e A2, B2 e C2 (sistema 2) e que se relacionam segundo as equações A1 = B1 . C1 e A2 = B2 . C2. Considerando um determinado instante de tempo iremos avaliar as relações entre os valores destas grandezas nos dois sistemas. A análise é feita da seguinte maneira:
I - Considerando que as grandezas A1 e A2 sejam iguais no instante considerado, quais as relações de proporção entre B1 e B2 e entre C1 e C2? Descobre-se a resposta a essa pergunta a partir da fórmula dada, A = B . C e da ideia matemática de proporcionalidade.
Observe que se A1 = A2, então B1 . C1 = B2 . C2 (os produtos são iguais). Pelo que vimos das definições de proporcionalidades, temos proporções inversas, ou seja, se a grandeza 'B' é maior no sistema 1 (do que no 2), então a grandeza 'C' desse sistema 1 é menor do que no sistema 2.
II - Considerando em seguida que as grandezas B1 e B2 sejam iguais no instante considerado, teremos A1 / C1 = A2 / C2. Ora, no caso da igualdade das razões, temos proporção direta, ou seja, se a grandeza 'A' é maior no sistema 1, a grandeza 'C' também é maior nesse sistema.
III - Finalmente, considerando que C1 seja igual a C2, teremos A1 / B1 = A2 / B2. Mais uma vez, proporção direta! Significa que se a grandeza 'A' é maior no sistema 1, a grandeza B também será maior nesse sistema.
Conclusões: Se os dois sistemas têm 'o mesmo A', o que tiver 'o maior B' terá, também, 'o menor C'; se os dois sistemas têm 'o mesmo B', então aquele tiver 'o maior A' terá, também, 'o maior C. Finalmente, se os dois sistemas têm 'o mesmo C, então terá 'o maior B' aquele que tiver, também, 'o maior A'.
Observações: Para descobrir a relação de proporção entre B1 e B2 e entre C1 e C2 deve-se igualar A1 a A2. Para descobrir a relação de proporção entre A1 e B2 e entre C1 e C2 deve-se igualar B1 a B2. Para descobrir a relação de proporção entre A1 e A2 e entre B1 e B2 deve-se igualar C1 a C2.
Resumo:
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Para essa introdução à 'análise' escolhi apenas fórmulas físicas com três grandezas, para que os exemplos fossem os mais simples e faceis de usar e mais se assemelhassem com a teoria dada acima.
Para cada fórmula (cada módulo) gravei um vídeo, mostrando a ANÁLISE PROPORCIONAL completa dela.
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